Bu yazıda matematiksel bilginin elde edilme yöntemi açıklanmış, matematiksel olanın “neliğine” dair bir soruşturma yapılmıştır. Matematiksel bilginin tarihselliği aşan doğruluk ve kesinlik vasıflarının Descartes ile birlikte doğru ve kesin bilgi arayışı dolayısıyla beşeri bilimlere uygulanışının serüvenini ve buradan sosyal teoriler üzerine tesiri irdelenmeye çalışılmıştır.
Öklid-dışı geometrilerin keşfiyle başlayan tartışmalardan sonra, matematiksel bilgilerin kurgusal olduğu ve fenomenal dünyanın sadece bir veçhesini verdiğinin fark edilmesiyle Descartes’in başlattığı yönelimin sonuçları tartışılmaya başlanmıştır. Nesnel ve kesin bilgi arayışıyla başlatılan bu yönelim insanlığa kadir-i mutlaklık vadederken, insan düşüncesinin küçülmesini ve bilhassa 20.yy büyük anlatılar çağında büyük yıkımları getirmiştir. İnsanın, kendi bilgisini aşan herhangi bir metafizik öğretiden ve kadim bilgelikten arındırarak oluşturduğu sosyal teorilerin, nasıl bir toplum teşekkül ettiği, bunun sonuçlarına dair köktenci eleştiriler ve çözüm önerileri müzakereye açılmıştır.
Matematiksel Bilginin Karakteri
Matematik tarihine baktığımızda antik Yunan öncesi uygarlıklarda, örneğin Babilliler, Sümerler, Mısırlılarda görülen matematiğin daha çok gündelik ihtiyaçları gidermek gayesiyle geliştirilen bir tür hesaplama aracı olduğu görülür. Mısırlılarda geometrinin gelişmesinin nedeni sulama kanalları ve Nil nehrinin sularının taşması nedeniyle arazi sınırlarının tekrar belirlenmesi gibi pratik ihtiyaçlardan kaynaklıydı. Burada Pisagor bağıntısı dâhil birçok matematiksel bilginin kullanıldığını görüyoruz. Fakat antik Yunan tecrübesine baktığımızda, matematiğin ilk kez bir soyutlama yöntemiyle insan zihninin en yetkin formlarını, bilgilerini üreten bir görünüm kazandığı görülmektedir. Buna imkân tanıyan, matematiğin o dönemin düşünüş biçimine temel rengini veren mantık ile kurduğu köktenci ilişkidir. Doğru düşünmenin yöntemi olarak kabul edilen mantık, genel olarak matematik yapma biçimini de etkilemiştir. Her ne kadar mantığın gelişiminde ve oluşturulmasında matematiğin rolüne değinilse de, biz daha çok matematiğin bu yeni yapılış biçiminin mantıktaki kökenleriyle ilgilenmekteyiz.
Matematiksel bilgi temel olarak iki temel özelliği barındırmayı amaçlar. Bunlardan ilki, bir önermenin ya doğru ya da yanlış olması gerektiğini vurgulayan “çelişmezlik” ilkesidir. Bu özellik onun mantık ile kurduğu ilişkiden, daha açık bir ifade ile özdeşlik ilkesinden kaynaklanır. Hatırlayacağımız üzere, özdeşlik ilkesi “bir şey ya A’dır ya da A değildir” biçimindeki bir önermeydi. Genel olarak matematik, bize sezgisel olarak kendini sunan veya fark ettiğimiz bilgilerin mantıksal bir formda sunulması, ispatlanması sürecidir. Bu yeni dönemde artık bir matematiksel bilginin bilgi hüviyetine sahip olması için mantığın zeminine çekilmesi ve orada temellendirilmesi gerekmektedir. Doğal olarak süreç artık yeni bilgi üretmek değil, elde edilen bilgilerin temellendirilmesi, ispatlanması sürecidir.
Bu süreci derli toplu olarak bize ilk kez sunan Öklid’dir. Öklid geometrisi olarak bilinen bu çalışmada bir takım doğruluğu ispatlanması gerekmeyecek düzeyde açık önermelerden (tüm disiplinler için geçerli önermeler, aksiyomlardan) ve matematiğe özgü genel doğrulardan (postulat), mantığın imkânlarıyla aslında gözlemlenmesi gerekmeyen birçok matematiksel teoremlere ulaşılmıştır. Kimi zaman da bu durum, sezgisel olarak bilinen önermelerin çeşitli ispat yöntemleriyle temeldeki aksiyomlara veya postulatlara bağlanması süreciyle devam etmiştir. Aslında ispatlanan teoremlerin çoğu o dönemde bilinmekte ve hatta kullanılmaktaydı. Fakat bunların bir sistem içinde ispatının verilmesi ilk kez bu geometride görüldü.
Aksiyomatik Yöntem
Aksiyomatik yöntem genel olarak bir bilgi kümesi oluşturabilmek amacıyla temel doğrular üzerine inşa edilen bir teoriler sistemidir. Sistemin(yöntemin) temel motivasyonu bilgi üretmek değil, mevcut bilgilerin doğruluğunu teyit etmektir ve bu amaçla bunları mantık zemininde bir sarmal ile birbirine bağlamaktır. Bu sistem tanım, aksiyom, postulat ve teoremlerden oluşur. Tanım, sistemde kullanacağımız kavramların tanımını vermek için kullanılır ve buradaki durumu soyut bir tanımlamadır. Örneğin nokta veya bir doğruyu tanımladığımızda, tecrübeden bağımsız, yalıtılmış bir tanım vermemiz gerekir. Yani geometrideki nokta dediğimiz şey, fiziksel uzayda bildiğimiz nokta değildir. Afin uzayda bir nokta dendiğinde, vektör uzayıyla birleşen boştan farklı bir A kümesinin elemanları kastedilir. Daha anlaşılır bir ifade ile o boyutsuz bir nesnedir. Peki, boyutsuz bir nesne olabilir mi? Olsa da bilebilir miyiz? Görüldüğü üzere bu yeni matematik yapma biçimi beraberinde birçok köktenci felsefi problemi de taşımaktadır.
Aksiyomlar tüm bilimler için, genel geçerli en temel ifadeler için kullanılırken, postulatlar ise belli bir alana yönelik doğruluğu açık önermeler için kullanılır. Teoremler ise bu aksiyom ve postulatlar sayesinde ispatlanabilen önermeler için kullanılır. Yani doğruluğu dolaysız olarak görülemeyen, muhakkak bir veya birkaç aksiyom veya postulata dayandırılmak zorunda olan, hatta bazen kendinden bir önceki teoremlere dayandırılması yeterli olan- çünkü her bir teorem aynı şekilde aksiyom ve postulatlara dayandırılacaktır- teoremlerle oluşturulur.
Aksiyomatik yöntem için önce doğruluğu apaçık olan temel önermelerin bir aksiyom olarak kabul edilmesi gerekir. Örneğin en önemli aksiyomlardan biri “Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir” önermesidir. Veya “Birbiriyle çakışan şeyler birbirlerine eşittir” önermesini verebiliriz. Daha özel olarak ise örneğin “Bütün parçasından büyüktür” önermesini verebiliriz. Bu üç önerme aynı oranda açık olmasa da doğruluğu gayet açık olan önermelerdir. Dolayısıyla bunlar birer aksiyom olarak kabul edilebilir. Bu aksiyomlar, çoğumuzun bildiği gibi Öklid geometrisinin beş aksiyomundan üçüdür. Öte yandan postulata örnek verecek olursak “iki nokta bir doğru belirler” veya “bir daireyi herhangi bir merkez ve uzaklıkla belirleyebiliriz” postulatlrını verebiliriz. Yine bu örnekler de Öklid geometrisinin beş temel postulatlarından ikisidir. Bununla beraber doğruluğu ilk dördüne nazaran pek de açık olmayan beşinci postulatı verelim. “ İki doğru üzerine düşen bir doğru çizgi, aynı yandaki iç açıları ile birlikte iki dik açıdan az yapıyorsa, iki doğru çizgi, dik açıların bulunduğu yanda yeterince uzatıldığında birleşirler.” Bu postulata Öklid’in paralellik postulatı da denir ve kısaca paralel doğruların kesişmeyeceğini anlatır.
Bu postulat düzlem geometride (Öklit geometrisinde) geçerli olmasına karşın küresel geometri ve eliptik geometride geçersizdir. Daha doğrusu bu yeni geometriler, paralel postulatın yerine yeni bir postulat koymakla oluşmuşlardır. Aynı şekilde Öklid geometrisinde bir üçgenin iç açıları toplamı iki dik açıya eşit iken, bu postulat küresel geometride iki dik açıdan büyük, eliptik geometride iki dik açıdan küçük olarak değişecektir.
Görüldüğü üzere evreni (fenomenleri) anlamak için oluşturduğumuz bu sistemler, temel öncüllerimizin (aksiyomlar) ne olduğuna bağlı olarak değişkenlik gösterecektir. Bu durum bize şunu göstermektedir ki düşüncelerimizi temel öncüllerimiz, temel öncüllerimizi ise içine doğduğumuz zamanın genel geçer düşünceleri belirlemektedir. Yani bir tür konsensüs ile belirlenmiş temel önermeler üzerine doğayı, insanı hatta Tanrı’yı anlamaya çabalamaktayız. Matematiksel düşünmedeki kesinlik ve tamlık vasıfları, özellikle Descartes ve rasyonalistleri etkilemiş, onlar bu sistemi kendi düşüncelerine uygulamışlardır.
Tümdengelim Yöntemin Öteki Disiplinlere Uygulanması
Öklid’in geliştirdiği bu yöntem sayesinde, matematiksel teoremler yüzyıllar boyunca doğruluk değerlerinden hiçbir şey kaybetmediler. Örneğin asal sayıların sonsuzluğu önermesinin ispatı bugün de geçerlidir. Hatta başka birçok farklı ispatı verilebilmiştir. Fakat hâlâ en şık (en sade) olanı Öklid’in verdiği ispattır. Bu yöntemle birlikte matematiksel bilgiye çağları aşan bir doğruluk değeri atfedildi. Bu durum, bilhassa Descartes’in Söylem ve Aklın Yöntemi için Kurallar adlı kitaplarında detaylıca anlattığı üzere, bu yöntemin düşüncenin yegâne yolu olarak ortaya konulmasını sağlayacaktır. Bu durumun temel motivasyonu nesnel bilgi edinme olsa da Descartes ile başlayacak olan insan düşüncesinin temel belirleyicisi olarak (özne olarak) merkeze alınması fikri de göz ardı edilmemelidir. Her türlü kadim düşünceden, ahlak öğretisinden, dinsel telkinden bağımsız sadece özne olarak insanın her şeyin ölçüsü olduğu bir düşünce biçimine geçilmesinin ana nedeni bu yöntemin matematikte (bilhassa geometride) gösterdiği başarıdır.
Bu durum Newton için de benzer bir süreci getirdi. Artık fiziksel olguları izah etmek için matematik ve dahası tümdengelim devredeydi. Böylelikle, bu yöntemin fiziğe uygulanması ile var olanlar üzerine tayin edici bir süreç başlayacaktır. Yani tarihsel olarak bu yöntemin, öncelikle fenomenler hakkında bilgi sahibi olabilmek için fiziğe uygulanması (ki doğa bilimlerinin matematikselleştirilmesi ile kastedilen budur) ve daha sonra da insan ve toplum bilimlerine uygulanması serüveninin sonuçları üzerine düşünmeyi müzakereye açma niyetindeyiz.
Bugün örneğin matematik kullanmadan veya tümdengelim yapmadan fiziksel bir olguyu açıklamaya çalışmamızın bir anlamı olabilir mi? Yani bir bilgiye tekabül eder mi? Yapabileceğimiz ilk eleştiri, sanırım bu tekçi okumanın özel olarak modern dönemde sosyal teorilerin inşası sürecine etkisi üzerine olacaktır. Bu yönlendirmeyle inşa edilen sosyal teoriler toplum hakkında bir bilgi verirken, aynı zamanda sadece insan aklının etkinliği kapsamında toplumu yönlendirici bir vasfa da bürünecektir. İnsan aklı dışında herhangi bir kaynak tarafından beslenmeyen bu yöntemin özel olarak insanı, genel olarak toplumu bir anlam daralmasıyla baş başa bıraktığı açıktır.
Bu yöntemin, tesiri bakımından en güçlü örneği iktisattaki rasyonel seçim teorisidir. Doğa bilimlerindeki kesinlik ve nesnellik (ki bu vasıfları ona yeni matematik yapma biçimiyle kurduğu ilişki verecektir) özellikleri dolayısıyla iktisatın ona öykünmesi ile başlayan süreç en başarılı meyvesini rasyonel seçim teorisinde vermiştir. Hatta bugün sosyal bilimlerin çoğu alanında bu matematikselleşmeye karşı alternatif yöntemler dile getirilse de iktisatta bu sert kabuk (sonuçları nedeniyle) kırılabilmiş değildir. Bu teori ile iktisatın içsel tutarlılık sorunu aşılmış ve üzerine yapılan tartışmalar onu var eden aksiyomlar üzerinde devam etmiştir.
Burada şunu vurgulamalıyız ki, artık bir disiplinin inşası için en hassas ve zor aşama aksiyom seçimidir ve seçilecek bu apaçık doğrular (veya ön kabuller) dönemin hâkim paradigmasından bağımsız ol(a)mayan hüviyettedir. Bu hâkim paradigma ise hiçbir şekilde tarihsel tecrübeden yalıtılmış değildir. Tüm bu tespitler projenin nesnellik vasfını tartışmaya açmamızı sağlamaktadır. Kanaatimizce daraltılan matematiğin, böylelikle doğa bilimleri ve sosyal bilimlerin, metafizikle tekrar temas kurması bu zeminin genişletilmesi ile mümkün olacaktır.
Öte taraftan aksiyomların doğruluklarının sorgulanması veya sorgulanmasına yol açabilecek yeni bilimsel bilgilerin -bu sistemle çelişen yeni durumların – ortaya çıkması söz konusu olabilir. Bu durum, gözlemlenen fenomenlerin farklı aksiyom ve postulatlarla, fakat bir önceki sistemdeki aksiyom ve postulatlardan tamamen çelişik bir şekilde yeni bir sistemle izahı şeklinde seyretmiştir. Yani tutarlılık şartıyla, yeni bir önermeler zinciriyle ve yeni bir sistemle aynı fenomenin birden fazla izahı söz konusudur.
Böylelikle bilginin tekçi okuması rafa kalkacaktır. Bu durum, en belirgin bir şekilde ve ilk olarak Öklid-dışı geometrilerde kendini göstermiştir. Tamamen birbiriyle çelişik farklı sistemlerle aynı uzay anlaşılmaya çalışılacaktır. Bunlardan bildiğimiz başlıcaları Öklid geometrisi, Rieamann (küresel) geometri ve eliptik geometridir. Buradan ise hangi geometrinin evreni tam olarak izah ettiğiyle ilgili tartışmalar başlamıştır.
Tam bu noktada şu soruyu sorabilmeliyiz, yaşadığımız evrende hangi geometri geçerlidir. Evrenin birçok yerinde küresel geometri daha açıklayıcı iken, özellikle karadelikler gibi tuhaf tekilliklerin olduğu yerlerde eliptik geometrinin açıklamalarının daha iyi olduğu yönünde günümüz hâkim kabulünden bahsedebiliriz. Fakat nihai olarak evreni tam olarak izah eden bir geometriden de bahsedemeyiz. Bu durumun sosyal bilimlerde pozitivizmin aşılmasına alan açtığını özellikle belirtmemiz gerekir. Bilhassa Thomas Kuhn’un çalışmalarından da görüleceği üzere, sosyal bilimlerde yeni paradigmaların konuşulabilmesine temel teşkil ettiğini belirtmemiz gerekir.
Matematiksel bilginin ikinci temel karakteri olan tamlık ise sistem içinde üretilebilecek tüm önermelerin yine sistem içinde bir ispatının olduğunu söyler. Yani madem fenomenal dünyanın izahını yapan bir sistem kurduk, o halde bu dünyanın bilgisine dair bu dünyanın kavramlarıyla oluşturulabilecek tüm önermeler yine bu bilgi kümesi içinde ispatlanabilmelidir. Bu iddianın kökeninde nihai olarak düşüncenin konuşulan dille sınırlandırılması ile karşı karşıyayız. Bir kez labirentin (sistemin) içinde, sistemin terminolojisi ile ve metodolojisi ile düşünmeye başladık mı açığa çıkacak olan şudur, bizimkinden bağımsız başka bir dünya söz konusu değildir. Böyle bir dünya mümkün olsa da bilemeyiz ve bu dünya hakkında bilgi edinmeye ancak bu yolla erişebiliriz. Bu durumun zirve noktası, Kant’ın fenomenal dünyayı bizim yarattığımız iddiasına kadar gitmesidir (Kant’ ta uzay-zamanın teşekkülü). Bu rasyonel dilin içine hapsolmuş her birey bir şekilde söz konusu olguları açıkladığı iddiasındaki önermelere ve yöntemin nihai olmadığının farkına vardığını söylese de sonuç itibariyle bu rasyonel dilin içinde kaybolacağından yeni ve bağımsız bir düşünceyle temas kuramayacaktır. Yani insan kendisini aşan bir bilgi ile sahici bir ilişki kuramayacaktır. Bu bilhassa doğa bilimlerinde ve matematikte araştırma yapan araştırmacıların maruz kalacakları bir durumdur. Sosyal bilimlerde bu kısmen aşılsa da benzer bir durum orada da görülecektir.
Böylece artık (tekrar) şunu fark edebiliriz ki, nokta veya doğru bildiğimiz anlamda bir doğru değildir. Her modelde olduğu gibi bu modelde de dilin yeniden inşası ve bu dilin kurduğu dünyanın doğrularıyla karşı karşıyayız. Bunun fark edilmesi Öklid- dışı geometrilerin ortaya çıkışıyla tam olarak görülmüştür ve buradan da postmodernizm düşüncesinin teşekkülü sağlamıştır. Vurgulamak istediğimiz nokta şurasıdır: Bilhassa matematiksel modelllerin bir iç kriz sonrası yeniden yapılandırılmaları ve başka bir veçheye bürünmeleri bilhassa sosyal teoriler üzerinden temel düşünüşümüzü nesneleştirmektedir. Bunun farkına varılması, içinde yaşadığımız çağda karşı karşıya kaldığımız düşünsel krizin aşılması için başlangıç noktası olmalıdır.
Bugün özel olarak Öklid-dışı geometrilerin sonuçları üzerine düşünülmeye başlandığında doğa bilimlerinin matematikselleştirilmesi (farklı geometriler üzerine fizik teorilerinin kurulması, özel ve genel görelilik gibi) genel olarak sosyal teoride bu tekçi okumanın aşıldığı (örneğin hermenutik) görülse de dikkat çekmek istediğimiz nokta meselenin en temelinde matematik yapma biçiminin daraltılması ile ilgilidir. Bu durum onun metafizik ile olan ilişkisinin koparmakta, doğa bilimleri ve oradan da sosyal teoriyi daraltmakta ve söz konusu sorunların aşılması zorlaşmaktadır. Bu yanıyla meselenin felsefi düzlemde ele alınması ve çözümün burada aranması gerekmektedir.
Sonuç
Matematiksel düşünme dediğimiz teorik matematiğin yapılış biçimi, sosyal bilimlerin kuruluşunda ve her yeni dönemde yeni bir veçheye bürünmelerinde etkin bir role sahiptir. Bu sürece yönelenlerin arzusu, tek yasa koyucu olarak insan aklının merkeze alarak kesin ve nesnel bilgi vasıflarıyla bir toplum fikri inşa etmekti. Matematikteki her yeni köktenci dönüşüm bir şekilde sosyal bilimlerde yeni bir metodoloji teklifi ile bize kendisini sunmaktadır. Sonuç olarak içinde yaşadığımız dünyada bir düşünce krizinde olduğumuza inanıyorsak, meselenin kökenlerini ve çözüm için başlangıç noktasını kanaatimizce matematiğin daraltılmış kökeninde aramak gerekmektedir.
